Logarytm Z Pierwiastka Z Dwóch

Hej, matematyczni zapaleńcy! Dzisiaj zagłębimy się w fascynujący świat logarytmów, a konkretnie rozwiejemy wątpliwości dotyczące pewnego wyrażenia z pierwiastkami. Mówimy o tym: \\\log_2 \left[(\\sqrt{2}) \cdot (\\sqrt{2}) \cdot (\\sqrt{2})\\right]. Czy to $\\\sqrt{2}$, 7, 14, czy może $\\\ 2^7$? Rozłóżmy to na czynniki pierwsze, krok po kroku, i upewnijmy się, że wszyscy to kumają.

Podstawy Logarytmów i Potęg – Dlaczego Są Ważne

Zanim zanurzymy się w nasze konkretne zadanie, przypomnijmy sobie, o co w ogóle chodzi w logarytmach i potęgach. Potęgowanie to po prostu wielokrotne mnożenie liczby przez samą siebie. Na przykład, $\\\ 2^3$ to 2 pomnożone przez siebie trzy razy: $\\\ 2 \\times 2 \\times 2 = 8$. Liczba na dole (2) to podstawa, a liczba na górze (3) to wykładnik. Logarytm to w zasadzie odwrotność potęgowania. Kiedy pytamy „logarytm z 8 o podstawie 2?”, czyli $\\\ \\log_2 8$, pytamy tak naprawdę: „Do jakiej potęgi musimy podnieść 2, aby otrzymać 8?”. W tym przypadku odpowiedź brzmi 3, bo $\\\ 2^3 = 8$. Zatem $\\\ \\log_2 8 = 3$. Zrozumienie tej podstawowej zależności jest kluczem do rozwiązywania wielu zadań matematycznych, szczególnie tych, które wydają się na pierwszy rzut oka skomplikowane.

Teraz pomyślmy o pierwiastkach. Pierwiastek kwadratowy z liczby to liczba, która pomnożona przez samą siebie daje liczbę pierwiastkowaną. Na przykład, $\\\ \\sqrt{9} = 3$, bo $\\\ 3 \\times 3 = 9$. Ważna wskazówka: pierwiastek kwadratowy z liczby można też zapisać jako tę liczbę podniesioną do potęgi $\\\ \\frac{1}{2}$. Czyli $\\\ \\sqrt{2}$ to to samo co $\\\ 2^{\\frac{1}{2}}$. Ta zamiana pierwiastków na potęgi jest niezwykle przydatna, gdy mamy do czynienia z mnożeniem lub dzieleniem pierwiastków, ponieważ wtedy możemy skorzystać z praw działań na potęgach. Właśnie tę umiejętność wykorzystamy w naszym zadaniu, aby je uprościć i doprowadzić do łatwiejszego rozwiązania. Pamiętajcie, że matematyka to często sztuka upraszczania i dostrzegania ukrytych zależności, a prawa działań na potęgach są jednymi z najważniejszych narzędzi w tym procesie. Bez opanowania tych podstaw, dalsze analizy będą trudniejsze, ale zapewniam, że po tym wpisie poczujecie się pewniej w operowaniu tego typu wyrażeniami.

Upraszczanie Wyrażenia Krok po Kroku

Dobrze, przejdźmy do sedna naszego dzisiejszego zadania: \\\ \\log_2 \left[(\\sqrt{2}) \cdot (\\sqrt{2}) \cdot (\\sqrt{2})\\right]. Zaczniemy od uproszczenia tego, co dzieje się w nawiasie, czyli iloczynu pierwiastków z dwóch. Mamy tam $\\\ \\sqrt{2} \\times \\sqrt{2} \\times \\sqrt{2}$. Jak już sobie wspomnieliśmy, $\\\ \\sqrt{2}$ to to samo co $\\\ 2^{\\frac{1}{2}}$. Więc możemy przepisać nasze wyrażenie w nawiasie jako: $\\\ 2^{\\frac{1}{2}} \\times 2^{\\frac{1}{2}} \\times 2^{\\frac{1}{2}}$.

Teraz wkraczają do akcji prawa działań na potęgach. Kiedy mnożymy potęgi o tej samej podstawie, dodajemy ich wykładniki. W naszym przypadku podstawa to 2, a wykładniki to $\\\ \\frac{1}{2}$, $\\\ \\frac{1}{2}$ i $\\\ \\frac{1}{2}$. Zatem dodajemy te wykładniki: $\\\ \\frac{1}{2} + \\frac{1}{2} + \\frac{1}{2}$.

$\\\ \\frac{1}{2} + \\frac{1}{2} = 1$. A $\\\ 1 + \\frac{1}{2} = 1 \\frac{1}{2}$, co możemy zapisać jako ułamek niewłaściwy $\\\ \\frac{3}{2}$.

Więc, nasze wyrażenie w nawiasie $\\\ (\\sqrt{2}) \\cdot (\\sqrt{2}) \\cdot (\\sqrt{2})$ jest równe $\\\ 2^{\\frac{3}{2}}$. Świetnie! Teraz nasze oryginalne zadanie wygląda tak: \\\ \\log_2 \left[2^{\\frac{3}{2}}\\right].

Kolejnym ważnym prawem logarytmów, które nam się tu przyda, jest to, że $\\\ \\log_b (b^x) = x$. Mówiąc prostszym językiem, logarytm z liczby podniesionej do jakiejś potęgi, o tej samej podstawie co podstawa potęgi, jest po prostu tym wykładnikiem. W naszym przypadku mamy \\\ \\log_2 \left[2^{\\frac{3}{2}}\\right]. Podstawa logarytmu to 2, a podstawa potęgi w liczbie logarytmowanej to też 2. Wykładnik potęgi to $\\\ \\frac{3}{2}$. Zatem, stosując to prawo, otrzymujemy: $\\\ \\frac{3}{2}$.

I to by było na tyle! Wynik to $\\\ \\frac{3}{2}$. Ale zaraz, zaraz... Sprawdźmy opcje, które nam podano: A. $\\\ \\sqrt{2}$, B. 7, C. 14, D. $\\\ 2^7$. Nasz wynik $\\\ \\frac{3}{2}$ nie pojawia się wśród opcji. Czy coś poszło nie tak? Przyjrzyjmy się jeszcze raz pierwotnemu wyrażeniu i sposobowi jego zapisu, może przeoczyłem jakiś szczegół, albo zaszła pomyłka w oryginalnym zadaniu. Albo... może właśnie tak ma być, że żaden z podanych wariantów nie jest poprawny, co też się zdarza w zadaniach.

Jednakże, często w zadaniach testowych, szczególnie jeśli są one wyborem wielokrotnym, istnieje pewne standardowe podejście do tego, jak powinny wyglądać wyniki. Może popełniono błąd w przepisywaniu zadania lub opcji odpowiedzi. Wróćmy do samego rdzenia – \\\ \\log_2 \left[(\\sqrt{2}) \cdot (\\sqrt{2}) \cdot (\\sqrt{2})\\right]. Jak ustaliliśmy, $\\\ \\sqrt{2} \\times \\sqrt{2} = 2$. Więc wyrażenie w nawiasie to $\\\ 2 \\times \\sqrt{2}$. Teraz mamy \\\ \\log_2 \left[2 \\times \\sqrt{2}\\right]. Możemy to rozbić, korzystając z własności logarytmów, że $\\\ \\log_b (x \\cdot y) = \\log_b x + \\log_b y$. Czyli \\\ \\log_2 \left[2 \\times \\sqrt{2}\\right] = \\log_2 2 + \\log_2 \\sqrt{2}.

Wiemy, że $\\\ \\log_2 2 = 1$, ponieważ $\\\ 2^1 = 2$. A $\\\ \\log_2 \\sqrt{2}$? Ponieważ $\\\ \\sqrt{2} = 2^{\\frac{1}{2}}$, to $\\\ \\log_2 \\sqrt{2} = \\log_2 (2^{\\frac{1}{2}})$. Zgodnie z prawem $\\\ \\log_b (b^x) = x$, to jest równe $\\\ \\frac{1}{2}$.

Dodając te dwie części: $\\\ 1 + \\frac{1}{2} = 1 \\frac{1}{2} = \\frac{3}{2}$. Nadal otrzymujemy $\\\ \\frac{3}{2}$. To utwierdza nas w przekonaniu, że nasz obliczenie jest poprawne, a wynik $\\\ \\frac{3}{2}$.

Analiza Opcji Odpowiedzi

Skoro mamy już pewność co do poprawnego wyniku, przeanalizujmy podane opcje: A. $\\\ \\sqrt{2}$, B. 7, C. 14, D. $\\\ 2^7$. Żadna z tych opcji nie jest równa $\\\ \\frac{3}{2}$. $\\\ \\sqrt{2}$ to około 1.414, $\\\ \\frac{3}{2}$ to 1.5. Nie są to te same liczby. Pozostałe opcje (7, 14, $\\\ 2^7$) są zdecydowanie za duże. $\\\ 2^7$ to $\\\ 128$. Wygląda na to, że w oryginalnym zadaniu mogła być jakaś literówka lub błąd w opcjach. Jednakże, jeśli mielibyśmy się naprawdę doszukać podobieństwa, to może jakaś pomyłka w interpretacji nawiasów lub mnożenia?

Ale trzymajmy się faktów i matematycznej precyzji. Wynik to $\\\ \\frac{3}{2}$. Jest to liczba, którą można zapisać jako 1.5.

Możliwe, że pytanie miało brzmieć inaczej. Na przykład, gdyby w nawiasie było $\\\ \\sqrt{2}$ podniesione do potęgi 7, czyli \\\ \\log_2 \left[(\\sqrt{2})^7 \\right], wtedy mielibyśmy \\\ \\log_2 \left[(2^{\\frac{1}{2}})^7 \\right] = \\log_2 \left[2^{\\frac{7}{2}} \\right] = \\frac{7}{2}. Nadal nie pasuje.

A gdyby pytanie brzmiało: $\\\ \\log_2 (2 \\cdot 2 \\cdot 2)$? Wtedy mamy $\\\ \\log_2 8$, co daje 3. Też nie pasuje.

A może \\\ \\log_2 \left[2^7 \\right]? To by było 7. Jest to opcja B! Ale tam jest przecież $\\\ \\sqrt{2}$! To by wymagało, żeby całe $\\\ \\sqrt{2} \\cdot \\sqrt{2} \\cdot \\sqrt{2}$ było równe $\\\ 2^7$, co jest absurdalne.

Albo, co jeśli ktoś pomylił $\\\ \\log_2$ z czymś innym? Na przykład, gdybyśmy mieli $\\\ 2^{\\frac{3}{2}}$ (nasz wynik potęgi), to byłoby $\\\ 2 \\sqrt{2}$. To z kolei byłoby opcja A, jeśli przyjąć, że $\\\ \\frac{3}{2}$ to coś w rodzaju $\\\ \\sqrt{2}$. Ale to jest naciągane.

Co jeszcze możemy zrobić? Czasem, gdy zadanie wydaje się nie pasować do opcji, warto zastanowić się nad samym kontekstem. Jeśli jest to zadanie z lekcji o logarytmach, to prawdopodobnie użyte są standardowe własności. Nasze obliczenia \\\ \\log_2 \left[(\\sqrt{2}) \cdot (\\sqrt{2}) \cdot (\\sqrt{2})\\right] = \\frac{3}{2} są matematycznie poprawne. Jeśli jednak musimy wybrać jedną z podanych odpowiedzi, a wiemy, że zadanie zostało skonstruowane tak, aby jedna z nich była poprawna, to musimy szukać błędu w naszym rozumowaniu lub w sposobie, w jaki zinterpretowaliśmy zadanie.

Przyjrzyjmy się jeszcze raz: \\\ \\log_2 \left[(\\sqrt{2}) \cdot (\\sqrt{2}) \cdot (\\sqrt{2})\\right].

Mnożenie w nawiasie: $\\\ \\sqrt{2} \\times \\sqrt{2} = 2$. Potem $\\\ 2 \\times \\sqrt{2}$. Czyli mamy $\\\ \\log_2 \left(2 \\sqrt{2}\right)$.

Możemy zapisać $\\\ 2 \\sqrt{2}$ jako $\\\ 2^1 \\times 2^{\\frac{1}{2}} = 2^{\\frac{3}{2}}$.

Więc \\\ \\log_2 \left(2^{\\frac{3}{2}}\\right) = \\frac{3}{2}.

Jest jeszcze jedna możliwość. Czy na pewno symbol $\\ \sqrt{2}\' oznacza $\\\ 2^{\\frac{1}{2}}$? Tak, to jest standardowa definicja pierwiastka kwadratowego. Czy na pewno $\\\ \\log_2$ oznacza logarytm o podstawie 2? Tak, to też standard.

Może w zadaniu był błąd i miało być \\\ \\log_{\\sqrt{2}} \left[(\\sqrt{2}) \cdot (\\sqrt{2}) \cdot (\\sqrt{2})\\right]? Wtedy mielibyśmy \\\ \\log_{\\sqrt{2}} \left[(\\sqrt{2})^3 \\right]. Zgodnie z prawem $\\\ \\log_b (b^x) = x$, wynik byłby 3. Nadal nie ma tej opcji.

Co gdyby było \\\ \\log_2 \left[2 \\cdot 2 \\cdot 2 \\right]? Wtedy mamy $\\\ \\log_2 8 = 3$. Nadal nic.

Jedyna opcja, która ma jakieś powiązanie z liczbą 2 i potęgami, to D. $\\\ 2^7$. Ale żeby otrzymać $\\\ 2^7$, musielibyśmy mieć $\\\ \\log_2 \left[ (2^7)^2 \right]$ albo $\\\ \\log_2 \left[ 2^{2^7} \right]$. To są już naprawdę dalekie spekulacje.

Najbardziej prawdopodobne jest, że wynik $\\\ \\frac{3}{2}$ jest poprawny, a opcje odpowiedzi są błędne. Jeśli jednak jesteśmy zmuszeni wybrać odpowiedź, która jest