Simplificando Expressões: Desvendando (X² + 2X + 1) / (X² - 2X + 1)

E aí, pessoal! Bora desvendar um probleminha de álgebra que pode parecer chato à primeira vista, mas que a gente vai transformar em moleza. A questão é a seguinte: "Qual é a simplificação da expressão (X² + 2X + 1) dividido por (X² - 2X + 1) e quais são os valores de X que tornam essa expressão indefinida?" As opções são A) X = 1, B) X = -1, C) X = 2, D) X = 0. Relaxa que a gente vai mastigar tudo, passo a passo, para você nunca mais ter dor de cabeça com isso. Vamos lá?

Entendendo a Expressão e Simplificando

Simplificar uma expressão algébrica é basicamente deixá-la na forma mais simples possível. É como arrumar a bagunça, sabe? A gente quer que a expressão fique com o menor número de termos e operações, sem mudar o resultado final. No nosso caso, temos a expressão (X² + 2X + 1) / (X² - 2X + 1). A primeira coisa que a gente pode notar é que tanto o numerador (a parte de cima da fração) quanto o denominador (a parte de baixo) são trinômios quadrados perfeitos. Se você já manja de produtos notáveis, isso vai ser barbada. Mas se não manja, sem problemas, a gente aprende junto!

Trinômios quadrados perfeitos são aqueles que resultam do quadrado da soma ou da diferença de dois termos. A forma geral é (a + b)² = a² + 2ab + b² ou (a - b)² = a² - 2ab + b². No nosso numerador, (X² + 2X + 1), temos X² (que é o quadrado de X), 1 (que é o quadrado de 1) e 2X, que é o dobro do produto de X e 1. Bingo! É um trinômio quadrado perfeito. Então, podemos reescrevê-lo como (X + 1)². No denominador, (X² - 2X + 1), a lógica é a mesma, mas com um sinal de menos. Temos X² (quadrado de X), 1 (quadrado de 1) e -2X, que é o dobro do produto de X e -1. Logo, podemos reescrever como (X - 1)².

Agora, a nossa expressão original (X² + 2X + 1) / (X² - 2X + 1) virou (X + 1)² / (X - 1)². Ficou bem mais simples, né? Podemos simplificar ainda mais. A expressão (X + 1)² / (X - 1)² é a mesma coisa que [(X + 1) / (X - 1)]². Essa é a forma mais simplificada da nossa expressão. Show de bola!

Resumo da Simplificação

• Expressão Original: (X² + 2X + 1) / (X² - 2X + 1)
• Reescrevendo como Trinômios Quadrados Perfeitos: (X + 1)² / (X - 1)²
• Simplificação Final: [(X + 1) / (X - 1)]²

Encontrando os Valores Indefinidos

Agora que simplificamos a expressão, precisamos descobrir quais valores de X a tornam indefinida. Uma fração é indefinida quando o denominador é igual a zero. Por que isso? Porque a divisão por zero não existe na matemática. É tipo tentar dividir um bolo entre zero pessoas: não faz sentido!

Então, para encontrar os valores de X que tornam a expressão indefinida, precisamos encontrar os valores que fazem com que o denominador (X² - 2X + 1) seja igual a zero. Mas, como já simplificamos a expressão para (X - 1)², fica mais fácil. O denominador é (X - 1)², então precisamos encontrar o valor de X que faz (X - 1)² = 0. Para isso, basta resolver a equação (X - 1) = 0. Somando 1 em ambos os lados da equação, temos X = 1.

Isso significa que, quando X for igual a 1, o denominador da nossa expressão original será zero, e a expressão será indefinida. Se você substituir X por 1 na expressão original (X² - 2X + 1), vai ver que o resultado é zero.

Como Encontrar os Valores Indefinidos

1. Identifique o denominador: No nosso caso, é (X² - 2X + 1) ou, simplificando, (X - 1)².
2. Iguale o denominador a zero: (X - 1)² = 0
3. Resolva a equação: X - 1 = 0 => X = 1

Analisando as Opções e Chegando à Resposta

Agora que já simplificamos a expressão e descobrimos o valor que a torna indefinida, vamos analisar as opções:

• A) X = 1: Este é o valor que encontramos que torna a expressão indefinida. O denominador seria zero.
• B) X = -1: Se substituirmos X por -1 na expressão simplificada [(X + 1) / (X - 1)]², teremos [(-1 + 1) / (-1 - 1)]² = [0 / -2]² = 0. A expressão não é indefinida, é igual a zero.
• C) X = 2: Se substituirmos X por 2 na expressão simplificada, teremos [(2 + 1) / (2 - 1)]² = [3 / 1]² = 9. A expressão não é indefinida e o resultado é 9.
• D) X = 0: Se substituirmos X por 0 na expressão simplificada, teremos [(0 + 1) / (0 - 1)]² = [1 / -1]² = 1. A expressão não é indefinida e o resultado é 1.

Portanto, a resposta correta é a A) X = 1.

Dicas Extras para Arrasar em Álgebra

• Domine os Produtos Notáveis: Saber identificar e manipular trinômios quadrados perfeitos, diferença de quadrados e outros produtos notáveis é fundamental para simplificar expressões. Pratique bastante!
• Fatoração: Aprenda a fatorar expressões. A fatoração é a chave para simplificar muitas expressões algébricas. Existem vários métodos, como fator comum, agrupamento e outros.
• Pratique, Pratique, Pratique: A matemática é como um esporte. Quanto mais você pratica, mais fácil fica. Resolva muitos exercícios, comece pelos mais simples e avance para os mais complexos.
• Não Tenha Medo de Errar: Errar faz parte do aprendizado. Se errar, analise onde você se perdeu e tente novamente. Aprenda com seus erros.
• Peça Ajuda: Se estiver com dificuldades, não hesite em pedir ajuda para um professor, colega ou tutor. Às vezes, uma explicação diferente pode fazer toda a diferença.

Conclusão

E aí, curtiu? Simplificar expressões algébricas pode parecer complicado, mas com um pouco de prática e as dicas certas, você vai dominar rapidinho. Lembre-se sempre de verificar se há valores que tornam a expressão indefinida. Com este guia, você está pronto para enfrentar qualquer problema de álgebra. Se tiver mais dúvidas, pode perguntar! Bons estudos, e até a próxima! 😉