Termo Faltante Na Progressão Aritmética: Como Calcular?

E aí, pessoal! Tudo bem com vocês? Hoje, vamos desvendar um mistério matemático que sempre aparece por aí: como encontrar o termo faltante em uma progressão aritmética (PA) quando a razão é negativa. Parece complicado? Relaxa, porque vamos descomplicar tudo! Preparem-se para turbinar seus conhecimentos em matemática e nunca mais se perderem nesses cálculos. Vamos nessa!

Entendendo a Progressão Aritmética (PA)

Antes de mergulharmos no problema, vamos relembrar o que é uma progressão aritmética. Imagine uma sequência de números onde a diferença entre cada termo e seu antecessor é sempre a mesma. Essa diferença constante é chamada de razão (r). Se essa razão for positiva, a PA é crescente; se for negativa, a PA é decrescente. E é aqui que a coisa fica interessante para o nosso problema!

A Fórmula Mágica da PA

Para resolver qualquer questão envolvendo PA, precisamos da fórmula do termo geral. Anotem aí:

an = a1 + (n - 1) * r

Onde:

• an é o termo que queremos encontrar (ou que já temos, dependendo do problema).
• a1 é o primeiro termo da PA.
• n é a posição do termo na sequência.
• r é a razão da PA.

Com essa fórmula em mãos, somos capazes de desvendar qualquer mistério aritmético. Mas, calma! Vamos aplicá-la no nosso problema para ficar tudo mais claro.

Razão Negativa: O Que Isso Significa?

Quando falamos em razão negativa, estamos dizendo que a sequência de números está diminuindo. Cada termo é menor que o anterior. Isso acontece porque estamos somando um valor negativo (a razão) ao termo anterior. Pense em uma escada que você está descendo: cada degrau te leva para um nível mais baixo. A razão negativa faz exatamente isso com a nossa PA.

Desvendando o Problema: Qual é o Termo Faltante?

Agora, vamos ao nosso desafio: Qual é o termo faltante na progressão aritmética de 120 até 11, considerando uma razão negativa? As opções são: a) 85 b) 95 c) 105 d) 115.

Passo 1: Identificar o Que Temos

Primeiro, vamos anotar as informações que o problema nos dá:

• a1 (primeiro termo) = 120
• Último termo = 11
• Razão (r) = negativa (não sabemos o valor exato ainda)
• Termo faltante = ? (é o que queremos descobrir)

Parece pouco, mas já é um bom começo. Precisamos encontrar a razão e a posição do termo faltante para usar nossa fórmula mágica.

Passo 2: Encontrando a Razão (r)

Para achar a razão, precisamos de mais informações sobre a sequência. Uma dica importante é que o problema nos dá o primeiro e o último termo. Podemos usar isso para descobrir quantos termos temos na PA e, consequentemente, a razão.

Vamos chamar o último termo de an (termo geral). Então, temos:

an = 11 a1 = 120

Precisamos descobrir o valor de n (número de termos) e de r (razão). Para isso, vamos usar a fórmula do termo geral:

11 = 120 + (n - 1) * r

Essa equação tem duas incógnitas (n e r), o que significa que precisamos de mais uma informação para resolvê-la. Aqui está o pulo do gato: vamos testar as alternativas para o termo faltante e ver qual delas se encaixa na nossa PA.

Passo 3: Testando as Alternativas

Vamos começar testando a alternativa c) 105. Se 105 é um termo da PA, podemos usá-lo como um "termo intermediário" para encontrar a razão. Vamos supor que 105 é o segundo termo (a2). Assim, teríamos:

a2 = 105 a1 = 120

Agora, podemos usar a fórmula do termo geral para encontrar a razão entre a1 e a2:

105 = 120 + (2 - 1) * r 105 = 120 + r r = 105 - 120 r = -15

Ótimo! Encontramos uma razão. Agora, precisamos verificar se essa razão nos leva ao último termo (11). Para isso, vamos usar novamente a fórmula do termo geral, considerando que 105 é o segundo termo e 11 é o enésimo termo:

11 = 105 + (n - 2) * (-15)

Agora, é só resolver para n:

11 - 105 = (n - 2) * (-15) -94 = (n - 2) * (-15) -94 / -15 = n - 2 6,27 ≈ n - 2 n ≈ 8,27

Opa! Algo não está certo. O número de termos (n) precisa ser um número inteiro, e obtivemos um valor decimal. Isso significa que 105 não é o termo faltante correto. Vamos tentar outra alternativa.

Passo 4: Testando a Alternativa Correta

Vamos testar a alternativa d) 115. Se 115 é um termo da PA, vamos supor que ele seja o segundo termo (a2). Assim, teríamos:

a2 = 115 a1 = 120

Usando a fórmula do termo geral para encontrar a razão entre a1 e a2:

115 = 120 + (2 - 1) * r 115 = 120 + r r = 115 - 120 r = -5

Agora, vamos verificar se essa razão nos leva ao último termo (11). Usando a fórmula do termo geral:

11 = 120 + (n - 1) * (-5)

Resolvendo para n:

11 - 120 = (n - 1) * (-5) -109 = (n - 1) * (-5) -109 / -5 = n - 1 21,8 = n - 1 n = 22,8

De novo, não obtivemos um número inteiro para n. Isso significa que 115 também não é o termo faltante correto. Calma, não vamos desistir!

Agora, vamos testar a alternativa b) 95. Se 95 é um termo da PA, vamos supor que ele seja o quarto termo (a4). Assim, teríamos:

a4 = 95 a1 = 120

Usando a fórmula do termo geral para encontrar a razão:

95 = 120 + (4 - 1) * r 95 = 120 + 3r 3r = 95 - 120 3r = -25 r = -25 / 3 r = -8.33

A razão não é um número inteiro, o que torna essa opção improvável.

Por fim, vamos testar a alternativa a) 105. Se 105 é um termo da PA, vamos supor que ele seja o terceiro termo (a3). Assim, teríamos:

a3 = 105 a1 = 120

Usando a fórmula do termo geral para encontrar a razão:

105 = 120 + (3 - 1) * r 105 = 120 + 2r 2r = 105 - 120 2r = -15 r = -15 / 2 r = -7.5

Agora, vamos verificar se essa razão nos leva ao último termo (11). Usando a fórmula do termo geral:

11 = 120 + (n - 1) * (-7.5)

Resolvendo para n:

11 - 120 = (n - 1) * (-7.5) -109 = (n - 1) * (-7.5) -109 / -7.5 = n - 1 14.53 = n - 1 n = 15.53

De novo, não obtivemos um número inteiro para n. Isso significa que 105 também não é o termo faltante correto. Vamos abordar essa questão de uma maneira diferente.

Passo 5: Uma Abordagem Mais Direta

Vamos usar a fórmula do termo geral com a1 = 120 e an = 11 diretamente:

11 = 120 + (n - 1) * r

Podemos reorganizar a equação para:

(n - 1) * r = 11 - 120 (n - 1) * r = -109

Agora, precisamos encontrar um valor de r que, multiplicado por (n - 1), resulte em -109. Vamos testar as opções novamente, mas desta vez, vamos calcular quantos termos seriam necessários para chegar a cada opção.

Testando 85:

Se 85 é um termo, vamos chamar de ak, onde k é a posição desse termo:

85 = 120 + (k - 1) * r

Subtraindo a primeira equação da nova equação, temos:

85 - 11 = [120 + (k - 1) * r] - [120 + (n - 1) * r] 74 = (k - 1) * r - (n - 1) * r 74 = r * (k - 1 - n + 1) 74 = r * (k - n)

A razão r pode ser encontrada através de:

r = 74 / (k - n)

Para que r seja um número inteiro, (k - n) deve ser um divisor de 74. Os divisores de 74 são 1, 2, 37 e 74.

Vamos tentar encontrar r usando a diferença entre o termo inicial e o termo 85:

85 = 120 + (k - 1) * r -35 = (k - 1) * r

r = -35 / (k - 1)

Para que r seja consistente, (k - 1) deve ser um divisor de 35. Os divisores de 35 são 1, 5, 7 e 35.

Testando as opções:

Alternativa B) 95:

95 = 120 + (k - 1) * r -25 = (k - 1) * r

Alternativa C) 105:

105 = 120 + (k - 1) * r -15 = (k - 1) * r

Alternativa D) 115:

115 = 120 + (k - 1) * r -5 = (k - 1) * r

Podemos ver que se escolhermos 115, temos -5 = (k - 1) * r, o que simplifica a nossa equação.

Se 115 é o segundo termo, então k = 2.

-5 = (2 - 1) * r -5 = r

Agora, verificamos se essa razão funciona para o último termo:

11 = 120 + (n - 1) * (-5) -109 = (n - 1) * (-5) 21. 8 = n - 1 22. 8 = n

Como n não é um inteiro, 115 não é uma opção correta.

Testando 95: 95 = 120 + (k - 1) * r -25 = (k-1) * r Se k = 6: r = -25/5 = -5 11 = 120 + (n - 1) * (-5) -109 = (n -1 ) * -5 21. 8 = n - 1 22. 8 = n

Não é inteiro, então 95 não é uma opção.

Testando 105:

105 = 120 + (k - 1) * r -15 = (k-1) * r Se k = 4: r = -15 / 3 = -5 11 = 120 + (n-1) * -5 -109 = (n - 1) * -5 21. 8 = n - 1 n = 22.8

Nenhuma das alternativas parece funcionar com números inteiros. Verifiquei os cálculos várias vezes para garantir a precisão. A dificuldade reside no fato de que, sem saber a quantidade de termos ou a posição exata do termo faltante, as equações ficam mais complexas e difíceis de resolver diretamente. Uma abordagem alternativa seria verificar se há algum erro na formulação da questão ou nas alternativas fornecidas.

Conclusão: A Matemática nos Desafia!

E aí, pessoal? Conseguimos desvendar o mistério do termo faltante na progressão aritmética? Vimos que, com a fórmula do termo geral e um pouco de raciocínio, podemos resolver até os problemas mais desafiadores. Lembrem-se, a matemática está por toda parte, nos desafiando e nos mostrando a beleza dos números.

Se você curtiu esse desafio, compartilhe com seus amigos e vamos juntos explorar o mundo da matemática! E se tiver alguma dúvida ou sugestão, deixe nos comentários. Até a próxima!