Znajdź Wartość 'a': Analiza Funkcji I Brak Punktów Wspólnych

by Blender 61 views

Cześć wszystkim! Dzisiaj zagłębimy się w fascynujący świat matematyki, a konkretnie w analizę funkcji wymiernych. Mamy przed sobą ciekawe zadanie, które wymaga od nas nie tylko znajomości podstaw algebry, ale również umiejętności logicznego myślenia. Naszym celem jest znalezienie wartości parametru 'a', dla której wykres funkcji f(x) = (x+a)/(7x-a) nie ma punktów wspólnych z prostą x = 4. Brzmi intrygująco, prawda? Zatem zakasujmy rękawy i do dzieła!

Rozwiązanie Krok po Kroku: Jak Znaleźć Wartość 'a'

Zacznijmy od zrozumienia, co oznacza brak punktów wspólnych. Kiedy wykres funkcji i prosta nie przecinają się? Oznacza to, że dla danej wartości x, funkcja nie ma zdefiniowanej wartości. W naszym przypadku, prosta x = 4 jest pionowa, a brak punktów wspólnych oznacza, że dla x = 4 funkcja f(x) nie jest określona. Funkcja wymierna, taka jak nasza, nie jest określona w punktach, dla których mianownik jest równy zero. Zatem, musimy znaleźć taką wartość 'a', dla której mianownik 7x - a = 0, gdy x = 4.

Przejdźmy teraz do konkretów. Podstawmy x = 4 do równania mianownika: 7 * 4 - a = 0. Upraszczając, otrzymujemy 28 - a = 0. Teraz, aby znaleźć 'a', musimy przenieść -a na drugą stronę równania. To daje nam a = 28. Zatem, jeśli a = 28, to mianownik funkcji będzie równy zero dla x = 4, co oznacza, że funkcja nie będzie określona dla x = 4. Oznacza to, że wykres funkcji i prosta x = 4 nie będą miały punktów wspólnych.

Co więcej, warto zauważyć, że funkcja f(x) = (x+a)/(7x-a) jest funkcją homograficzną. Funkcje homograficzne mają asymptoty pionowe i poziome. Asymptota pionowa to linia, do której wykres funkcji zbliża się, ale nigdy jej nie przecina. W naszym przypadku, asymptota pionowa znajduje się w punkcie x = a/7. Jeśli a = 28, asymptota pionowa będzie miała miejsce dla x = 4, czyli w punkcie, w którym prosta x = 4.

Podsumowując, prawidłowa odpowiedź to D. 28.

Dlaczego Inne Odpowiedzi Są Nieprawidłowe?

Przeanalizujmy teraz, dlaczego pozostałe odpowiedzi (A, B i C) są niepoprawne. Rozważmy sytuację, w której a = -4. Wtedy nasza funkcja wyglądałaby następująco: f(x) = (x-4)/(7x+4). Mianownik byłby równy zero dla x = -4/7. W takim przypadku wykres funkcji miałby asymptotę pionową w x = -4/7, a nie w x = 4, więc nie spełniałoby to warunku z zadania. Podobnie, jeśli a = 4, mielibyśmy funkcję f(x) = (x+4)/(7x-4). Wtedy mianownik byłby równy zero dla x = 4/7. Ponownie, nie mielibyśmy braku punktów wspólnych z prostą x = 4. Wreszcie, jeśli a = 7, otrzymalibyśmy funkcję f(x) = (x+7)/(7x-7). Mianownik byłby równy zero dla x = 1, a nie dla x = 4.

Zatem, tylko dla a = 28 funkcja nie jest określona dla x = 4, co oznacza, że wykres funkcji i prosta x = 4 nie mają punktów wspólnych. Pamiętajcie, kluczem do sukcesu jest dokładna analiza warunków zadania i zrozumienie, co oznaczają poszczególne elementy równania.

Dodatkowe Wskazówki i Ciekawostki

Chcecie pójść o krok dalej? Spróbujcie narysować wykres funkcji dla a = 28, a także dla innych wartości 'a'. Możecie użyć do tego celu kalkulatora graficznego lub darmowych programów, takich jak GeoGebra. To świetny sposób, aby wizualnie zrozumieć, jak zmiana parametru 'a' wpływa na wygląd wykresu funkcji. Zauważycie, że dla a = 28, wykres funkcji ma asymptotę pionową w punkcie x = 4, co potwierdza nasze wcześniejsze obliczenia.

Co więcej, warto zwrócić uwagę na dziedzinę funkcji. Dziedzina funkcji wymiernej to zbiór wszystkich liczb rzeczywistych z wyjątkiem tych, dla których mianownik jest równy zero. W naszym przypadku, po znalezieniu a = 28, dziedziną funkcji f(x) = (x+28)/(7x-28) jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych z wyjątkiem x = 4. To jeszcze jeden sposób, aby upewnić się, że nasze rozwiązanie jest poprawne.

Nie bójcie się eksperymentować! Zmieniajcie wartości 'a' i obserwujcie, jak zmienia się wykres funkcji. To doskonały sposób na pogłębienie swojej wiedzy i zrozumienia matematyki. Pamiętajcie, matematyka to nie tylko wzory i obliczenia, to przede wszystkim logiczne myślenie i rozwiązywanie problemów. Im więcej ćwiczycie, tym lepiej będziecie radzić sobie z tego typu zadaniami.

Podsumowanie: Klucz do Rozwiązania

Dzisiejsze zadanie było świetnym przykładem tego, jak ważne jest zrozumienie definicji i podstawowych pojęć w matematyce. Zrozumienie, co oznacza brak punktów wspólnych, oraz wiedza o tym, kiedy mianownik funkcji wymiernej jest równy zero, pozwoliły nam na szybkie i poprawne rozwiązanie zadania. Pamiętajcie, że matematyka to język, który wymaga od nas precyzji i dokładności. Każde słowo, każda liczba ma swoje znaczenie.

Podczas rozwiązywania zadań, zawsze starajcie się:

  • Uważnie czytać treść zadania: Zwracajcie uwagę na wszystkie szczegóły.
  • Zrozumieć, co jest dane, a co należy znaleźć: Zdefiniujcie cel zadania.
  • Wybrać odpowiednie metody i wzory: Pamiętajcie o podstawowych zasadach.
  • Sprawdzić rozwiązanie: Upewnijcie się, że wasza odpowiedź jest logiczna i poprawna.

Mam nadzieję, że dzisiejsza analiza była dla Was pouczająca i inspirująca. Pamiętajcie, że matematyka to wspaniała dziedzina, która rozwija nasze umiejętności logicznego myślenia i rozwiązywania problemów. Do zobaczenia w kolejnych matematycznych przygodach! Trzymajcie się ciepło, i do następnego razu!

Powodzenia i niech matematyka będzie dla Was przyjemnością!